Закон инерции квадратичных форм. "деньги" продолжают мониторить доходность финансовых инструментов
Квадратичную форму можно приводить к нормальному виду различными невырожденными линейными преобразованиями (преобразованиями координат). Возникает вопрос: как связаны между собой различные нормальные виды одной и той же квадратичной формы.
Пусть L n – n-мерное линейное пространство над полем Р и пусть на нём задана квадратичная форма j (а ). Пусть в L n задан базис е = (е 1 , е 2 , … , е n ) и пусть А – матрица данной формы в этом базисе. Пусть е 1 = (е 1 1 , е 2 1 , … , е n 1 ) – один из базисов, в котором j (а ) имеет канонический вид, и Т матрица перехода от базиса е к базису е 1 . В базисе е 1 форма j (а ) имеет диагональную матрицу А 1 . По формуле (56) А 1 = Т Т ×А ×Т. Матрицы Т и Т Т невырожденные. Умножение матрицы А на невырожденную матрицу не меняет ранга матрицы А , следовательно, rang A = rang A 1 , т.е. в любом базисе матрица квадратичной формы имеет один и тот же ранг.
Определение 63. Рангом квадратичной формы, заданной на линейном пространстве L n называется ранг её матрицы в любом базисе этого пространства.
Так как ранг диагональной матрицы равен числу отличных от нуля диагональных элементов, то любой канонический вид данной квадратичной формы содержит одно и тоже число квадратов переменных с ненулевыми коэффициентами. Это число равно рангу формы. Следовательно, доказано утверждение:
Теорема 66. Комплексная квадратичная форма любым невырожденным линейным преобразованием приводится к одному и тому же нормальному виду, состоящему из r квадратов переменных с единичными коэффициентами, т.е. j = х 1 2 + х 2 2 + … + х r 2 .
Если поле Р есть поле действительных чисел, то нормальный вид квадратичной формы будет j (а ) = х 1 2 + х 2 2 + … + х к 2 – х к+1 2 – … – х r 2 .
Определение 64. Число квадратов переменных, входящих с коэффициентом (+1) в нормальный вид действительной квадратичной формы, называется положительным индексом инерции этой формы. Число квадратов с коэффициентом (–1) называется отрицательным индексом инерции , разность между числом переменных и рангом квадратичной формы (т.е. n – r) называется её дефектом .
Теорема 67 (закон инерции квадратичных форм ). Число положительных и число отрицательных квадратов в нормальном виде, к которому приводится квадратичная форма с действительными коэффициентами действительным невырожденным линейным преобразованием, не зависит от выбора этого преобразования.
Доказательство. Пусть j (а ) – квадратичная форма, заданная в базисе е = (е 1 , е 2 , … , е n ) линейного пространства L n над полем R , а = х 1 е 1 + х 2 е 2 + … + х n е n . Пусть эта форма приведена двумя способами к двум нормальным видам. Согласно предыдущим результатам оба этих нормальных вида содержат одинаковое число квадратов переменных с ненулевыми коэффициентами. Пусть
j = у 1 2 + у 2 2 + … + у к 2 – у к+1 2 – … – у r 2 =
= z 1 2 + z 2 2 + … + z р 2 – z р+1 2 – … – z r 2 . (*)
Пусть у і = , і = 1, 2, … , n (** ), и z ј = , ј = 1, 2, … , n (***).
Так как эти формулы задают невырожденные преобразования, то их определители отличны от нуля. Достаточно доказать, что к = р. Предположим, что к ¹ р . Не нарушая общности, можно считать, что к < р . Составим систему уравнений у 1 = у 2 = … = у к = z р+1 = … = z r = z r+1 = … = z n = 0. Это система n – р + к линейных однородных уравнений от n неизвестных. Так как число уравнений меньше числа неизвестных, то она имеет ненулевые решения. Пусть (х 1 0 , х 2 0 , … , х n 0) – одно из них. Подставив это решение в формулы (**) и (***), вычислим все у і и z ј и подставим их в равенство (*). Получим –(у к+1 0 ) 2 – … – (у r 0 ) 2 = (z 1 0 ) 2 +(z 2 0 ) 2 + … +(z р 0 ) 2 . Это равенство возможно тогда и только тогда, когда у к+1 0 = … = у r 0 = z 1 0 = z 2 0 = … = z р 0 = 0. Получили, что система z 1 = z 2 = … = z р = z р+1 = … = z r = z r+1 = … = z n = 0 имеет ненулевое решение (х 1 0 , х 2 0 , … , х n 0), что невозможно, т.к. ранг этой системы равен n . Итак, наше предположение не верно. Следовательно, к = р.
9.5. Положительно определённые квадратичные формы
Определение 65. Действительная квадратичная форма называется положительно определённой , если для любого вектора а ¹ 0 имеет место j (а ) > 0.
Теорема 68. Действительная квадратичная форма является положительно определённой тогда и только тогда, когда её ранг и положительный индекс инерции равны числу неизвестных.
Доказательство. Þ Пусть j (а ) – действительная положительно определённая квадратичная форма. Пусть она приводится к нормальному виду
у 1 2 + у 2 2 + … + у к 2 – у к+1 2 – … – у r 2 (*),
в котором либо r < n , либо r = n , но к < n . Пусть преобразование координат, с помощью которого форма приведена к нормальному виду, задаётся формулами у і = (**). Определитель этих формул отличен от нуля. Если r < n, то возьмём у 1 = у 2 = … = у n–1 = 0, у n = 1 и подставим в (**). Получим систему n линейных неоднородных уравнений с n неизвестными и с определителем, отличным от нуля. По правилу Крамера эта система имеет единственное решение. Очевидно, это решение не нулевое, поэтому определяет ненулевой вектор а . Но тогда j (а ) = 0, что противоречит определению положительно определённой формы. Аналогично приходим к противоречию и в случае r = n , но к < n . Итак, если форма положительно определённая, то её нормальный вид у 1 2 + у 2 2 + … + у n 2 . Это и значит, что ранг и положительный индекс инерции равны n.
Ü Ранг и положительный индекс инерции действительной квадратичной формы равны n. Докажите самостоятельно, что форма положительно определённая.
Отметим без доказательства ещё одну теорему о положительно определённых действительных квадратичных формах.
Теорема 69 . Действительная квадратичная форма является положительно определённой тогда и только тогда, когда все главные миноры её матрицы положительны.
Теорема 70 . Квадрат длины вектора в любом базисе евклидова пространства задаётся положительно определённой квадратичной формой.
Доказательство. Пусть Е n – n -мерное евклидово пространство, е = (е 1 , е 2 , … , е n ) – базис в нём и Г – матрица Грама, задающая скалярное произведение векторов в этом базисе. Если а = х 1 е 1 + х 2 е 2 + … + х n е n , в = у 1 е 1 + у 2 е 2 + … + у n е n , то (а, в ) = х Т ×Г ×у , где х Т – строка координат вектора а , у – столбец координатвектора в . Следовательно, а 2 = (а , а ) = х Т ×Г ×х. Если сравнить с формулой (60), то получим, что х Т ×Г ×х есть квадратичная форма с матрицей Г. В пространстве Е n есть ортонормированный базис. В этом базисе а 2 = х 1 2 + х 2 2 +…+ х n 2 . Но это значит, что при переходе к ортонормированному базису квадратичная форма х Т ×Г ×х приводится к нормальному виду х 1 2 + х 2 2 +…+ х n 2 . По теореме 68 получаем, что форма х Т ×Г ×х является положительно определённой.
Пример. Какие из следующих квадратичных форм являются положительно определёнными?
1. 4х 1 2 – х 1 х 2 + 3х 2 2 – х 2 х 3 + 6х 2 х 4 .
2. 4х 1 х 2 – х 1 х 3 + 2х 2 2 – 4х 2 х 3 + 3х 2 х 4 + 5х 4 2 .
3. 4х 1 2 – 5х 1 х 2 + 3х 2 2 – 2х 2 х 3 + х 3 2 + 4х 2 х 4 – х 4 2 .
Решение. Ответить на вопрос можно двумя способами: привести форму к каноническому виду или вычислить главные миноры матрицы данной формы. Для первой формы используем первый способ, для второй и третьей – второй способ.
1. 4х 1 2 – х 1 х 2 + 3х 2 2 – х 2 х 3 + 6х 2 х 4 = (4х 1 2 – х 1 х 2 + ) – + 3х 2 2 – х 2 х 3 + 6х 2 х 4 =
Понятие квадратичной формы. Матрица квадратичной формы. Канонический вид квадратичной формы. Метод Лагранжа. Нормальный вид квадратичной формы. Ранг, индекс и сигнатура квадратичной формы. Положительно определенная квадратичная форма. Квадрики.
Понятие квадратичной формы: функция на векторном пространстве, задаваемая однородным многочленом второй степени от координат вектора.
Квадратичной формой от n неизвестных называется сумма, каждое слагаемое которой является или квадратом одного из этих неизвестных, или произведением двух разных неизвестных.
Матрица квадратичной формы: Матрицу называют матрицей квадратичной формы в данном базисе. В случае, если характеристика поля не равна 2, можно считать, что матрица квадратичной формы симметрична, то есть .
Написать матрицу квадратичной формы:
Следовательно,
В векторно-матричной форме квадратичная форма имеет вид:
Канонический вид квадратичной формы: Квадратичная форма называется канонической, если все т. е.
Всякую квадратичную форму можно привести к каноническому виду с помощью линейных преобразований. На практике обычно применяют следующие способы.
Метод Лагранжа : последовательное выделение полных квадратов. Например, если
Затем подобную процедуру проделывают с квадратичной формой и т. д. Если в квадратичной форме все но есть то после предварительного преобразования дело сводится к рассмотренной процедуре. Так, если, например, то полагаем
Нормальный вид квадратичной формы: Нормальной квадратичной формой называется такая каноническая квадратичная форма, у которой все коэффициенты равны +1 или -1.
Ранг, индекс и сигнатура квадратичной формы: Рангом квадратичной формы А называется ранг матрицы А . Ранг квадратичной формы не изменяется при невырожденных преобразованиях неизвестных.
Количество отрицательных коэффициентов - называется отрицательным индексом формы.
Число положительных членов в каноническом виде называется положительным индексом инерции квадратичной формы, число отрицательных членов - отрицательным индексом. Разность между положительным и отрицательным индексами называетсясигнатурой квадратичной формы
Положительно определенная квадратичная форма: Вещественная квадратичная форма называется положительно определенной (отрицательно определенной), если при любых не равных одновременно нулю вещественных значениях переменных
В этом случае матрица также называется положительно определенной (отрицательно определенной).
Класс положительно определенных (отрицательно определенных) форм является частью класса неотрицательных (соответственно неположительных) форм.
Квадрики: Квадрик — n -мерная гиперповерхность в n +1-мерном пространстве, заданная как множество нулей многочлена второй степени. Если ввести координаты {x 1 , x 2 , x n +1 } (в евклидовом или аффинном пространстве), общее уравнение квадрики имеет вид
Это уравнение можно переписать более компактно в матричных обозначениях:
где x = {x 1 , x 2 , x n +1 } — вектор-строка, x T — транспонированный вектор, Q — матрица размера (n +1)×(n +1) (предполагается, что хотя бы один её элемент ненулевой), P — вектор-строка, а R — константа. Наиболее часто рассматривают квадрики над действительнымиили комплексными числами. Определение можно распространить на квадрики в проективном пространстве, см. ниже.
Более общо, множество нулей системы полиномиальных уравнений известно как алгебраическое многообразие. Таким образом, квадрика является (аффинным или проективным) алгебраическим многообразием второй степени и коразмерности 1.
Преобразования плоскости и пространства.
Определение преобразования плоскости. Определение движения. свойства движения. Два вида движений: движение I рода и движение II рода. Примеры движений. Аналитическое выражение движения. Классификация движений плоскости (в зависимости от наличия неподвижных точек и инвариантных прямых). Группа движений плоскости.
Определение преобразования плоскости: Определение. Преобразование плоскости сохраняющее расстояние между точками называется движением (или перемещением) плоскости. Преобразование плоскости называется аффинным , если оно любые три точки, лежащие на одной прямой переводит в три точки также лежащие на одной прямой и при этом сохраняет простое отношение трех точек.
Определение движения: это преобразования фигур, при котором сохраняются расстояния между точками. Если две фигуры точно совместить друг с другом посредством движения, то эти фигуры одинаковы, равны.
Свойства движения: всякое сохраняющее ориентацию движение плоскости является либо параллельным переносом, либо поворотом, всякое меняющее ориентацию движение плоскости является либо осевой симметрией, либо скользящей симметрией. Точки, лежащие на прямой, при движении переходят в точки, лежащие на прямой, и сохраняется порядок их взаимного расположения. При движении сохраняются углы между полупрямыми.
Два вида движений: движение I рода и движение II рода: Движения первого рода - такие движения, которые сохраняют ориентацию базисов некоей фигуры. Они могут быть реализованы непрерывными движениями.
Движения второго рода - такие движения, которые изменяют ориентацию базисов на противоположную. Они не могут быть реализованы непрерывными движениями.
Примерами движений первого рода являются перенос и поворот вокруг прямой, а движениями второго рода - центральная и зеркальная симметрии.
Композицией любого числа движений первого рода является движение первого рода.
Композиция четного числа движений второго рода есть движение 1 рода, а композиция нечетного числа движений 2 рода - движение 2 рода.
Примеры движений: Параллельный перенос . Пусть а — данный вектор. Параллельным переносом на вектор а называется отображение плоскости на себя, при котором каждая точка М отображается в точку М 1 , что вектор MМ 1 равен вектору а.
Параллельный перенос является движением, поскольку представляет собой отображение плоскости на себя, сохраняющее расстояния. Наглядно это движение можно представить как сдвиг всей плоскости в направлении данного вектора а на его длину.
Поворот . Обозначим на плоскости точку О (центр поворота ) и зададим угол α (угол поворота ). Поворотом плоскости вокруг точки О на угол α называется отображение плоскости на себя, при котором каждая точка М отображается в точку М 1 , что ОМ = ОМ 1 и угол MOМ 1 равен α. При этом точка О остается на своем месте, т. е. отображается сама в себя, а все остальные точки поворачиваются вокруг точки О в одинаковом направлении — по часовой стрелке или против часовой стрелки (на рисунке изображен поворот против часовой стрелки).
Поворот является движением, поскольку представляет собой отображение плоскости на себя, при котором сохраняются расстояния.
Аналитическое выражение движения: аналитическая связь, между координатами прообраза и образа точки имеет вид (1).
Классификация движений плоскости (в зависимости от наличия неподвижных точек и инвариантных прямых): Определение:
Точка плоскости инвариантной (неподвижной), если при данном преобразовании она переходит в себя.
Пример: При центральной симметрии инвариантной является точка центра симметрии. При повороте инвариантной является точка центра поворота. При осевой симметрии инвариантной является прямая — ось симметрии — это прямая инвариантных точек.
Теорема: Если движение не имеет ни одной инвариантной точки, то оно имеет хотя бы одно инвариантное направление.
Пример: Параллельный перенос. Действительно, прямые, параллельные этому направлению инвариантных как фигура в целом, хотя не состоит из инвариантных точек.
Теорема: Если движется какой-то луч, луч переводит в себя, то это движение либо тождественное преобразование, либо симметрия относительно прямой содержащей данный луч.
Поэтому по наличию инвариантных точек или фигур можно провести классификацию движений.
| Название движения | Инвариантные точки | Инвариантные прямые |
| Движение I рода. | ||
| 1. - поворота | (центр) - 0 | нет |
| 2. Тождественное преобразование | все точки плоскости | все прямые |
| 3. Центральная симметрия | точка 0 - центр | все прямые, проходящие через точку 0 |
| 4. Параллельный перенос | нет | все прямые |
| Движение II рода. | ||
| 5. Осевая симметрия. | множество точек | ось симметрии (прямая ) все прямые |
Группа движений плоскости: В геометрии важную роль играют группы самосовмещений фигур. Если - некоторая фигура на плоскости (или в пространстве), то можно рассмотреть множество всех тех движений плоскости (или пространства), при которых фигура переходит в себя.
Это множество является группой. Например, для равностороннего треугольника группа движений плоскости, переводящих треугольник в себя, состоит из 6 элементов: поворотов на углы вокруг точки и симметрий относительно трех прямых.
Они изображены на рис. 1 красными линиями. Элементы группы самосовмещений правильного треугольника могут быть заданы и иначе. Чтобы пояснить это, пронумеруем вершины правильного треугольника числами 1, 2, 3. Любое самосовмещение треугольника переводит точки 1, 2, 3 в те же самые точки, но взятые в ином порядке, т.е. может быть условно вписано в виде одной из таких скобок:
где числами 1, 2, 3 обозначены номера тех вершин, в которые переходят вершины 1, 2, 3 в результате рассматриваемого движения.
Проективные пространства и их модели .
Понятие проективного пространства и модели проективного пространства. Основные факты проективной геометрии. Связка прямых с центром в точке O - модель проективной плоскости . Проективные точки. Расширенная плоскость - модель проективной плоскости. Расширенное трехмерное аффинное или евклидово пространство - модель проективного пространства . Изображения плоских и пространственных фигур при параллельном проектировании.
Понятие проективного пространства и модели проективного пространства:
Проективное пространство над полем — пространство, состоящее из прямых (одномерных подпространств) некотороголинейного пространства над данным полем. Прямые пространства называются точками проективного пространства. Это определение поддаётся обобщению на произвольное тело
Если имеет размерность , то размерностью проективного пространства называется число , а само проективное пространство обозначается и называется ассоциированным с (чтобы это указать, принято обозначение ).
Переход от векторного пространства размерности к соответствующему проективному пространству называется проективизацией пространства .
Точки можно описывать с помощью однородных координат.
Основные факты проективной геометрии: Проективная геометрия — раздел геометрии, изучающий проективные плоскости и пространства. Главная особенность проективной геометрии состоит в принципе двойственности, который прибавляет изящную симметрию во многие конструкции. Проективная геометрия может изучаться как с чисто геометрической точки зрения, так с аналитической (с помощью однородных координат) и салгебраической, рассматривая проективную плоскость как структуру над полем. Часто, и исторически, вещественная проективная плоскость рассматривается как Евклидова плоскость с добавлением «прямой в бесконечности».
Тогда как свойства фигур, с которыми имеет дело Евклидова геометрия, являются метрическими (конкретные величины углов, отрезков, площадей), а эквивалентность фигур равнозначна их конгруэнтности (т.е. когда фигуры могут быть переведены одна в другую посредством движения с сохранением метрических свойств), существуют более "глубоко лежащие" свойства геометрических фигур, которые сохраняются при преобразованиях более общего типа, чем движение. Проективная геометрия занимается изучением свойств фигур, инвариатных при классе проективных преобразований , а также самих этих преобразований.
Проективная геометрия дополняет Евклидову, предоставляя красивые и простые решения для многих задач, осложнённых присутствием параллельных прямых. Особенно проста и изящна проективная теория конических сечений.
Есть три главных подхода к проективной геометрии: независимая аксиоматизация, дополнение Евклидовой геометрии , и структура над полем.
Аксиоматизация
Проективное пространство можно определить с помощью разного набора аксиом.
Коксетер предоставляет следующие:
1. Существует прямая и точка не на ней.
2. На каждой прямой есть по крайней мере три точки.
3. Через две точки можно провести ровно одну прямую.
4. Если A , B , C , и D — различные точки и AB и CD пересекаются, то AC и BD пересекаются.
5. Если ABC — плоскость, то существует по крайней мере одна точка не в плоскости ABC .
6. Две различные плоскости пересекаются по крайней мере в двух точках.
7. Три диагональные точки полного четырёхугольника не коллинеарны.
8. Если три точки на прямой X X
Проективная плоскость (без третьего измерения) определяется несколько другими аксиомами:
1. Через две точки можно провести ровно одну прямую.
2. Любые две прямые пересекаются.
3. Существует четыре точки, из которых нет трёх коллинеарных.
4. Три диагональные точки полных четырёхугольников не коллинеарны.
5. Если три точки на прямой X инвариантны по отношению к проективности φ, то все точки на X инвариантны по отношению к φ.
6. Теорема Дезарга : Если два треугольника перспективны сквозь точку, то они перспективны сквозь прямую.
При наличии третьего измерения, теорема Дезарга может быть доказана без введения идеальных точки и прямой.
Расширенная плоскость - модель проективной плоскости: возьмем в аффинном простран- стве A3 связку прямых S(O) с центром в точке O и плоскость Π, не проходя- щую через центр связки: O 6∈ Π. Связка прямых в аффинном пространстве является моделью проективной плоскости. Зададим отображение множества точек плоскости Π на множество прямых связки S (Бля, молись если достался этот вопрос, прости)
Расширенное трехмерное аффинное или евклидово пространство - модель проективного пространства :
Для того, чтобы сделать отображение сюръективным, повторим процесс формального расширения аффинной плоскости Π до плоскости проективной, Π, дополняя плоскость Π множеством несобственных точек {M∞} таким, что: ({M∞}) = P0(O). Поскольку в отображении прообразом каждой плоскости связки плоскостей S(O) является прямая на плоскости d, то очевидно, что множество всех несобственных точек расширенной плоскости: Π = Π ∩ {M∞}, {M∞}, представляет собой несобственную прямую d∞ расширенной плос- кости, являющуюся прообразом особой плоскости Π0: (d∞) = P0(O) (= Π0). (I.23) Договоримся, что последнее равенство P0(O) = Π0 здесь и в дальнейшем мы будем понимать в смысле равенства множеств точек, но наделенных раз- личной структурой. Дополнив аффинную плоскость несобственной прямой, мы добились того, что отображение (I.21) стало биективным на множестве всех точек расширенной плоскости:
Изображения плоских и пространственных фигур при параллельном проектировании:
В стереометрии изучаются пространственные фигуры, однако на чертеже они изображаются в виде плоских фигур. Каким же образом следует изображать пространственную фигуру на плоскости? Обычно в геометрии для этого используется параллельное проектирование. Пусть p - некоторая плоскость, l - пересекающая ее прямая (рис. 1). Через произвольную точку A , не принадлежащую прямой l , проведем прямую, параллельную прямой l . Точка пересечения этой прямой с плоскостью p называется параллельной проекцией точки A на плоскость p в направлении прямой l . Обозначим ее A ". Если точка A принадлежит прямой l , то параллельной проекцией A на плоскость p считается точка пересечения прямой l с плоскостью p.
Таким образом, каждой точке A пространства сопоставляется ее проекция A " на плоскость p. Это соответствие называется параллельным проектированием на плоскость p в направлении прямой l.
Группа проективных преобразований. Приложение к решению задач.
Понятие проективного преобразования плоскости. Примеры проективных преобразований плоскости. Свойства проективных преобразований. Гомология, свойства гомологии. Группа проективных преобразований.
Понятие проективного преобразования плоскости: Понятие проективного преобразования обобщает понятие центральной проекции. Если выполнить центральную проекцию плоскости α на некоторую плоскость α 1 , затем проекцию α 1 на α 2 , α 2 на α 3 , … и, наконец, какой-то плоскости α n опять на α 1 , то композиция всех этих проекций и есть проективное преобразование плоскости α; в такую цепочку можно включить ипараллельные проекции.
Примеры проективных преобразований плоскости: Проективным преобразованием пополненной плоскости называется ее взаимно-однозначное отображение на себя, при котором сохраняется коллинеарность точек, или, другими словами, образом любой прямой является прямая. Всякое проективное преобразование есть композиция цепочки центральных и параллельных проекций. Аффинное преобразование - это частный случай проективного, при котором бесконечно удаленная прямая переходит сама в себя.
Свойства проективных преобразований:
При проективном преобразовании три точки не лежащие на прямой переходят в три точки не лежащие на прямой.
При проективном преобразовании репер переходит в репер.
При проективном преобразовании прямая переходит в прямую, пучок переходит в пучок.
Гомология, свойства гомологии:
Проективное преобразование плоскости, которое имеет прямую инвариантных точек, а значит, и пучок инвариантных прямых называется гомологией.
1. Прямая, проходящая через несовпадающие соответственные точки гомологии, является инвариантной прямой;
2. Прямые, проходящие через несовпадающие соответственные точки гомологии, принадлежат одному пучку, центр которого является инвариантной точкой.
3. Точка, ее образ и центр гомологии лежат на одной прямой.
Группа проективных преобразований: рассмотрим проективное отображение проективной плоскости P 2 на себя, то есть проективное преобразование этой плоскости (P 2 ’ = P 2).
Как и прежде композицией f проективных преобразований f 1 и f 2 проективной плоскости P 2 назовем результат последовательного выполнения преобразований f 1 и f 2: f = f 2 °f 1 .
Теорема 1: множество H всех проективных преобразований проективной плоскости P 2 является группой относительно композиции проективных преобразований.
Нормальный вид квадратичной формы.
Согласно теореме Лагранжа любую квадратичную форму можно привести к каноническому виду. То есть существует диагонализирующий (канонический) базис, в котором матрица этой квадратичной формы имеет диагональный вид
где . Тогда в этом базисе квадратичная форма имеет вид
Пусть среди ненулевых элементов имеется положительных и отрицательных, причем . Меняя, в случае необходимости нумерацию базисных векторов, можно всегда добиться того, чтобы в диагональной матрице квадратичной формы первые элементов были положительными, остальные – отрицательными (если , то последние элементов в матрице – нули). В результате квадратичную форму (10.17) можно записать в следующем виде
В результате замены переменных на переменные согласно системе:
квадратичная форма (6.18) примет диагональный вид, в которой коэффициенты при квадратах переменных единицы, минус единицы или нули:
где матрица квадратичной формы (10.19) имеет диагональный вид
Определение 10.9. Запись (10.19) называется нормальным видом квадратичной формы, а диагонализирующий базис, в котором квадратичная форма имеет матрицу (10.20), называется нормализирующим базисом .
Таким образом, в нормальном виде (10.19) квадратичной формы диагональными элементами матрицы (10.20) могут быть единицы, минус единицы или нули, причем располагаются они так, что сначала первыми идут единиц, затем минус единиц, потом нулей (не исключаются случаи обращения в нуль указанных значений , , ).
Таким образом, доказана следующая теорема.
Теорема 10.3. Всякая квадратичная форма может быть приведена к нормальному виду (10.19) с диагональной матрицей (10.20).
Закон инерции квадратичной формы
Квадратичная форма может быть приведена к каноническому виду различными способами (методом Лагранжа, методом ортогональных преобразований или методом Якоби). Но, несмотря на многообразие канонических видов для данной квадратичной формы, имеются такие характеристики её коэффициентов, которые во всех этих канонических видах остаются неизменными. Речь идет о так называемых числовых инвариантах квадратичной формы. Одним из числовым инвариантом квадратичной формы является ранг квадратичной формы.
Теорема 10.4 (об инвариантности ранга квадратичной формы) .Ранг квадратичной формы не меняется при невырожденных линейных преобразованиях и равен числу отличных от нуля коэффициентов в любом ее каноническом виде. Другими словами, ранг квадратичной формы равен количеству ненулевых собственных чисел матрицы квадратичной формы (с учетом их кратности).
Определение 10.10. Ранг квадратичной формы называется индексом инерции . Число положительных и число () отрицательных чисел в нормальном виде (3) квадратичной формы называются положительным и отрицательным индексами инерции квадратичной формы соответственно. При этом список называется сигнатурой квадратичной формы.
Положительный и отрицательный индексы инерции являются числовыми инвариантами квадратичной формы. Справедлива теорема, называемая законом инерции .
Теорема 10.5 (закон инерции) .Канонический вид (10.17) квадратичной формы определён однозначно, то есть сигнатура не зависит от выбора диагонализирующего базиса (не зависит от способа приведения квадратичной формы к каноническому виду).
□ Утверждение теоремы означает, что если одна и та же квадратичная форма при помощи двух неособенных линейных преобразований
приведена к различным каноническим видам ():
то обязательно , то есть количество положительных коэффициентов совпадает с количеством положительных коэффициентов .
Вопреки утверждению, предположим, что . Так как преобразования (10.21) невырожденные, то выразим из них канонические переменные :
Найдем вектор такой, чтобы соответствующие векторы , имели вид
Для этого представим матрицы и в следующих блочных видах:
где обозначены -матрица, -матрица, -матрица, -матрица.
В результате блочных представлений матриц и составим однородную систему линейных алгебраических уравнений, взяв из (10.22) первые уравнений, а из (10.23) – последние уравнений:
Полученная система содержит уравнений и неизвестных (компонент вектора ). Так как , то , то есть в этой системе число уравнений меньше числа неизвестных, и она имеет бесконечное количество решений, среди которых можно выделить ненулевое решение .
На полученном векторе значения формы имеют разные знаки:
что невозможно. Значит, предположение о том, что неверно, то есть .
Из того, что следует, что сигнатура не зависит от выбора диагонализирующего базиса. ■
В качестве иллюстрации закона инерции можно показать, что квадратичная форма от трех переменных:
двумя неособенными линейными преобразованиями , с соответствующими матрицами
(первая матрица соответствует методу Лагранжа, вторая – методу ортогональных преобразований) приводится соответственно к двум различным каноническим формам
При этом обе канонические формы имеют одну и ту же сигнатуру
6. Знакоопределенные и знакопеременные квадратичные формы
Квадратичные формы подразделяют на типы в зависимости от множества принимаемых ими значений.
Определение 10.11. Квадратичная форма называется:
положительно определенной
отрицательно определенной , если для всякого ненулевого вектора : ;
неположительно определенной (отрицательно полуопределенной) , если для всякого ненулевого вектора : ;
неотрицательно определенной (положительно полуопределенной) , если для всякого ненулевого вектора : ;
знакопеременной , если существуют ненулевые векторы , : .
Определение 10.12. Положительно (отрицательно) определенные квадратичные формы называются знакоопределенными . Неположительно (неотрицательно) определенные квадратичные формы называются знакопостоянными .
Тип квадратичной формы можно легко определить, приведя ее к каноническому (или нормальному) виду. Справедливы следующие две теоремы.
Теорема 10.6. Пусть квадратичная форма приведена к каноническому виду и имеет сигнатуру ( , ). Тогда:
Является положительно определенной ;
Является отрицательно определенной ;
Является неположительно определенной ;
Является неотрицательно определенной ;
Является знакопеременной .). Тогда:неотрицательно определенной при всех ;
Является знакопеременной среди собственных чисел есть как положительные, так и отрицательные.
Над полем K {\displaystyle K} и e 1 , e 2 , … , e n {\displaystyle e_{1},e_{2},\dots ,e_{n}} - базис в L {\displaystyle L} .
- Квадратичная форма является положительно определенной, тогда и только тогда, когда все угловые миноры её матрицы строго положительны.
- Квадратичная форма является отрицательно определенной, тогда и только тогда, когда знаки всех угловых миноров её матрицы чередуются, причем минор порядка 1 отрицателен.
Билинейная форма, полярная положительно определённой квадратичной форме, удовлетворяет всем аксиомам скалярного произведения .
Канонический вид
Вещественный случай
В случае, когда K = R {\displaystyle K=\mathbb {R} } (поле вещественных чисел), для любой квадратичной формы существует базис, в котором её матрица диагональна, а сама форма имеет канонический вид (нормальный вид):
Q (x) = x 1 2 + ⋯ + x p 2 − x p + 1 2 − ⋯ − x p + q 2 , 0 ≤ p , q ≤ r , p + q = r , (∗) {\displaystyle Q(x)=x_{1}^{2}+\cdots +x_{p}^{2}-x_{p+1}^{2}-\cdots -x_{p+q}^{2},\quad \ 0\leq p,q\leq r,\quad p+q=r,\qquad (*)}где
r
{\displaystyle r}
- ранг квадратичной формы. В случае невырожденной квадратичной формы
p
+
q
=
n
{\displaystyle p+q=n}
, а в случае вырожденной -
p
+
q
<
n
{\displaystyle p+q
Для приведения квадратичной формы к каноническому виду обычно используются метод Лагранжа или ортогональные преобразования базиса, причем привести данную квадратичную форму к каноническому виду можно не одним, а многими способами.
Число q {\displaystyle q} (отрицательных членов) называется индексом инерции данной квадратичной формы, а число p − q {\displaystyle p-q} (разность между числом положительных и отрицательных членов) называется сигнатурой квадратичной формы. Отметим, что иногда сигнатурой квадратичной формы называют пару (p , q) {\displaystyle (p,q)} . Числа p , q , p − q {\displaystyle p,q,p-q} являются инвариантами квадратичной формы, т.е. не зависят от способа её приведения к каноническому виду (закон инерции Сильвестра ).
Комплексный случай
В случае, когда K = C {\displaystyle K=\mathbb {C} } (поле комплексных чисел), для любой квадратичной формы существует базис, в котором форма имеет канонический вид
Q (x) = x 1 2 + ⋯ + x r 2 , (∗ ∗) {\displaystyle Q(x)=x_{1}^{2}+\cdots +x_{r}^{2},\qquad (**)}где r {\displaystyle r} - ранг квадратичной формы. Таким образом, в комплексном случае (в отличие от вещественного) квадратичная форма имеет один единственный инвариант - ранг, и все невырожденные формы имеют один и тот же канонический вид (сумма квадратов).
Сентябрь оказался успешным месяцем для всех классов активов. По оценкам "Денег", почти все инвестиции обеспечили положительный результат. При этом самый высокий доход принесли вложения в золото, которые выиграли не только от роста стоимости драгоценного металла, но и от ослабления рубля. Высокую прибыль принесли инвесторам основные категории ПИФов, депозиты, а также большая часть российских акций. Убыточными стали популярные в последние годы фонды облигаций, а также акции Сбербанка, которые сильнее всего могут пострадать в случае ужесточения санкций США.
Виталий Капитонов
Спустя пять месяцев самой доходной инвестицией за месяц стало золото. По оценке "Денег", вложив 15 августа в драгоценный металл 100 тыс. руб., инвестор мог получить через месяц почти 5 тыс. руб. дохода. Это второй по величине месячный результат в этом году. Больше инвестор мог заработать в апреле — 9,3 тыс. руб.
Высокая доходность вложений в благородный металл лишь отчасти связана с ростом его цены. C середины августа стоимость золота выросла на 2,4%, до $1205 за тройскую унцию. Это стало отражением инфляционных ожиданий в США. По данным Министерства торговли США, инфляция в стране замедлилась с 2,9% в июле до 2,7% в августе, но остается выше целей ФРС. Таким образом, инфляция продолжает расти, что позволит ФРС повышать ставку без резких изменений. Поддержку драгоценному металлу оказали новости о том, что власти США и Канады продолжают предпринимать попытки найти компромисс по новому соглашению НАФТА. "Эти новости снижают обеспокоенность относительно торговых отношений, которая оказывала давление на рынок золота и поддерживала доллар",— отмечает стратег по операциям на товарно-сырьевых рынках Sberbank Investment Research Михаил Шейбе. Эффект растущих цен на золото был усилен ростом курса доллара в России (+2,5%). В результате рублевые инвестиции в драгоценный металл принесли значительный доход.
Впрочем, к дальнейшим инвестициям в золото стоит относиться с осторожностью, считают участники рынка. Ключевым риском для инвестиций в благородный металл остается эскалация торгового противостояния между США и Китаем. "Фактор политического давления исключен, а это значит, что появление новых барьеров — дело практически решенное. Такое развитие событий негативно для золота, поскольку возрастет спрос на доллар как на защитный актив",— считает Михаил Шейбе.
Какой доход принесли вложения в золото (%)
Источники: Bloomberg, Reuters, Сбербанк.
В числе наиболее доходных финансовых продуктов остаются паевые инвестиционные фонды, а отдельные продукты управляющих компаний смогли обеспечить маржу, превышающую показатель золота. В октябре самыми успешными оказались вложения в отраслевые фонды акций, ориентированные на металлургические, телекоммуникационные и нефтегазовые компании. По оценке "Денег", основанной на данных Investfunds, по итогам месяца вложения в такие фонды принесли бы частным инвесторам от 2,2 тыс. руб., до 5,2 тыс. руб.
Высокий заработок обеспечили и другие категории фондов: индексные фонды, смешанных инвестиций, еврооблигаций. Фонды этих категорий смогли бы принести своим инвесторам от 200 руб. до 4 тыс. руб. на 100 тыс. вложений.
Негативный результат принесли полюбившиеся частным инвесторам облигационные фонды. Фонды данной категории относятся к числу консервативных, поэтому потери частных инвесторов были символическими — до 1 тыс. руб. В таких условиях инвесторы начали фиксировать прибыль в облигационных фондах. По данным Investfunds, в августе розничные инвесторы вывели из облигационных фондов 4 млрд руб. Быстрее они забирали из фондов данной категории в декабре 2014 года. Тогда на фоне девальвации курса рубля и стремительного роста ставок на внутреннем рынке инвесторы вывели из фондов более 4,5 млрд руб.
Высвобожденную ликвидность инвесторы отчасти направляют на покупку более рискованных фондов акций. Объем вложенных средств в фонды данной категории в августе превысил 3,5 млрд руб., что на 500 млн руб. больше объема привлечений в июле. Спрос на рисковые стратегии растет уже шестой месяц подряд, а объем вложений занимает все большую долю в общем притоке в розничные фонды. Наибольшим спросом у инвесторов пользуются фонды телекоммуникаций и нефтегаза.
Какой доход принесли вложения в паевые фонды (%)
|
Источники: Национальная лига управляющих, Investfunds.
Августовские аутсайдеры — акции — поднялись на третье место с четвертого рейтинга "Денег". За минувший месяц инвестиции в индекс ММВБ принесли бы розничным инвесторам 3,4 тыс. руб. При этом начало рассмотренного периода не предвещало столь высокого результата. В период с 15 по 18 августа индекс ММВБ снизился на 1,2%. Однако ситуация улучшилась после 24 августа. За три недели индекс подскочил почти на 5% и поднялся до уровня 2374 пункта. Это всего на 2 пункта ниже исторического максимума, установленного в марте.
Впрочем, в сентябре многие фондовые индексы развивающихся и развитых стран продемонстрировали положительную динамику. По оценкам Bloomberg, российские индексы выросли в долларовом выражении всего на 4,4%. Сильнее рост продемонстрировали только турецкие индексы, поднявшиеся на 5,9-6,3%. Среди индикаторов развитых стран лидером стал итальянский FTSE MIB, прибавивший за месяц 3,4%.
Сильнее всего подросли акции АЛРОСА, "Газпрома", ГМК "Норильский никель" и "Магнита": на этих бумагах инвестор мог заработать 4,2-8,3 тыс. руб. на каждую сотню тысяч инвестиций. По словам ведущего аналитика ИК "Олма" Антона Старцева, интерес инвесторов к бумагам АЛРОСА поддержало высказывание министра финансов Антона Силуанова о том, что компания может направить 75% чистой прибыли на выплату дивидендов.
Исключением из общей картины стали акции "РусГидро", "Ростелекома", "Аэрофлота", инвестиции в которые принесли бы убыток в размере от 200 руб. до 1,4 тыс. руб. Максимальные потери оказались бы у инвесторов, вложивших деньги в ценные бумаги Сбербанка,— 2,1 тыс. руб. Его акции остаются под давлением комментариев чиновников Госдепартамента США, которые не исключают возможности санкций в отношении банка в ноябре. Такие перспективы пугают международных инвесторов и вынуждают их выходить не только из ОФЗ, но и из бумаг банка.
После обвала в августе и сентябре акции Сбербанка стали привлекательными для инвестирования, считают аналитики. "Отскок в бумагах крупнейшего российского банка очень вероятен, и риски их покупок вполне оправданны. Среднесрочным инвесторам пока следует ориентироваться на фиксацию прибыли в районе 180 руб. за акцию",— считает аналитик "АЛОР Брокер" Алексей Антонов.
Какой доход принесли вложения в акции (%)
|
